[高中数学] 2026 好题四道

三角形不是等腰三角形故不能取 222否则必等腰或都在长轴所在直线上。剩余选项有 22,−。(1) −3225。则 22−2253得 212−70得 −121722−643−343≠14≠14舍去。(2) −35。41。2231≠14≠14舍去。(3) 35。得 22214成立。(4) 3225得 4737≠14舍去。综上32三角形的组成是长轴顶点短轴顶点距离长轴顶点较远的焦点23T2将 (3,3,0) 绕直线 旋转求该点经过的卦限数量不含坐标平面解该点的轨迹是在平面 6 上以 (2,2,2) 为圆心6 为半径的圆。假设该点旋转过程中经过除 (,,) 外的其他卦限由轮换对称性不妨设 0。则 6−6(−2)2(−2)26−(−2)22。然而(−2)(−2)2应有 (−2)2(−2)2≥12((−2)(−2))22得到 22矛盾故不能经过其他卦限。答案为 1。T3已知 Γ:2−21 ((−1)≥0):2:2 与 Γ 交于第一、四象限弦长为 1 与 Γ 交于第三、四象限弦长为 2。求所有的 使得对任意 均存在唯一的 使得 21。解联立 2 和 2−21得 (2−1)22210Δ4(21)。112Δ|2−1|2(21)|2−1|。同理22(21)|2−1|。求 , 范围。读图∈[0,1)∈(1,22]。定义辅助函数 ()2(21)|2−1|2|122−1|命题转化为对任意 ∈[0,1)都存在唯一的 ∈(1,2]使得 ()()。2(122−1)2(−121−2)122−1(−121−2)又因为 −121−2 的值域是 [1,∞)122−1 在 [97,∞) 上都有唯一对应的 故 ≥97T4对于定义域为 上的三个函数 1()2()3()。 是 1,2,3 两个元素的排列的子集。定义 (,)∈ 当且仅当 ()≤() 对 ∈ 恒成立。 是 1,2,3 全排列的子集。定义 (,,)∈ 当且仅当 1()≤() 对 ∈ 恒成立且 1()2()≤()() 对 ∈ 恒成立。记 ||。已知 1()∈(0,1) 对 ∈[0,∞) 恒成立。2()12(()(−))。3()1−−。0[,∞)。求证(一) 若 1() 是严格减函数则存在 0使得 ≥4(二) 若 1() 是严格增函数则存在 01使得 ≠2。证明先枚举 的所有可能必有 (1,2,3)∈。(1,3,2)∈当且仅当 (2,3)∈。(2,1,3)∈当且仅当 (1,2)∈。(2,3,1)∈当且仅当 (1,2)∈,(1,3)∈。(3,1,2)∈当且仅当 (2,3)∈,(1,3)∈。(3,2,1)∈当且仅当 (1,3)∈。(1,2)∈(2,3)∈(1,3)∈是是是6否是是4是否是4是是否3否否是2否是否2是否否2否否否1故 ≥4当且仅当 (1,3)∈且 {(1,2),(1,3)}∩≠∅。2当且仅当 |{(1,2),(1,3),(2,3)}∩|1。一证明 若 1() 是严格减函数则存在 0使得 ≥42()12(1(0)1(2))1(0)1()1(0)。取 −ln⁡(1−1(0))则 3()1−−1(0)≥ 时有 3()≥3()1(0)既恒大于 1()又恒大于 2()因 1()2() 均严格递减。故 (1,3)∈ 且 (2,3)∈。故 ∈4,6≥4命题得证。二证明 若 1() 是严格增函数则存在 01使得 ≠2假设 (1,2)∈则 1()≤12(1(−)1())得 1()≥21()−1(−)。取 1(2)−1()0则 1()−1((−1))≥ 恒成立可得 1((1))≥1()。只需取 1−1() 就可得 1((1))1这与 1()∈(0,1) 矛盾故假设不成立(1,2)∉。由于 (0)0取 min{−ln⁡(1−1(0))2,12}则 3(2)≤1(0)1()1(2)可得 1(2)3(2)⇒(1,3)∉且 2()12(1(0)1(2))3(2)3()⇒(2,3)∉。故存在 ∈(0,1)使得 1≠2。